周期信号，可以用傅里叶级数展开，也就是说它的频谱是离散的
非周期信号，频谱是连续的，每一个频率分量的幅值都是零；为此引入频率密度的概念，引入傅里叶变换
2.2.1 周期信号的傅里叶级数
要是还能复习一下微积分甲Ⅰ中傅里叶级数的来龙去脉就好
总之，复傅里叶系数 非常重要，它包含了一个信号模、幅角的全部信息
另外，相频特性是奇函数，幅频特性是偶函数（关于n）并且有：
这是由X的表达式所决定的，参看电路原理笔记中的详细推导
总之，结合复傅里叶系数可以给出傅里叶级数在复数域上的第三种表达形式
值得注意的是，前面两种三角函数的表达仍是在实数域上；这种表达方式把数域扩展到了复平面
常用周期信号的频谱
周期矩形脉冲的频谱
要求：能够进行动态分析：
τ不变，T0增大，？
T0不变，τ改变？
正弦型信号的频谱
这个应该是很直观的，甚至不需要做傅里叶变换
复指数信号的频谱
比照周期信号的复指数展开不难理解，例如：
尝试理解正弦信号频谱中的+ω，-ω，以及sin频谱中为什么有±90°（乘j相当于旋转90°）
周期信号的功率分配
周期信号的傅里叶级数近似
- 当信号x(t)为方波等脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿，低频分量主要影响脉冲的顶部。所以，x(t)波形变化愈激烈，所包含的高频分量愈丰富；变化愈缓慢，所包含的低频分量愈丰
2.2.2非周期信号的傅里叶变换
傅里叶变换对
这是由狄利克雷条件决定的
解决方法：引入频谱密度函数
类比概统中离散型随机变量和连续型随机变量的概念：
在连续随机变量中，每一个点上的概率都是零，但是在一个非零面积上的积分不是零；引入概率密度的概念
这个，在每一个频率上幅值都是零，因此在分母上除上单位频率，得到频谱密度函数
傅里叶变换
体现了一种映射关系：
用类似于拉普拉斯变换的更严谨的数学语言可以表述为：
傅里叶反变换
tips：推导是从傅里叶级数的角度出发的；傅里叶级数-取极限-傅里叶变换
进一步地推导：
周期信号的频谱是离散的；
非周期信号的频率密度谱是连续的（如果讨论频率谱的话，幅值都是零）
常见的傅里叶变换结论
门信号的傅里叶变换
双边偶指数信号
双边奇指数信号
单边指数信号
单位冲激信号
- 的频谱是均匀的，称为白色频谱
单位直流信号
值得说明的是， 明显是不符合狄利克雷条件的，而冲激函数 按照严格的数学定义恰好也不是函数（只能算做广义函数）
说明这个体系在数学上是统一的，严格来讲，不符合狄利克雷条件，傅里叶变换就是不存在
符号函数信号
2.2.3傅里叶变换的性质
线性
奇偶性
特别地注意，时域信号现在也是定义在复数域上的；要把数的概念扩宽
当 为实函数时，实函数的傅里叶变换具有共轭对称性
对称性
傅里叶反变换：
把t换为-t
把t换成ω，ω换成t；
纯粹的符号上的替换，在数学证明中挺常用的
把2 乘过去，得到最终的表达式
尺度变换特性（特别的，拉氏变换中没有）
a一定要是实数！这里只是进行尺度变换
- 时分复用
- 频分复用
通信速度和占用频带宽度是一对矛盾，如果要压缩信号的持续时间，不得不以展宽频带作为代价
时移性
这一点和拉普拉斯的时移性质是一样的，亦即：
不改变幅度谱，只是增加了一个线性相移
例 的傅里叶变换
频移性
- 若时间信号 乘上 ，等效于其频谱沿频率轴平移
- 复指数信号的傅里叶变换
- 余弦信号的傅里叶变换
- 正弦信号的傅里叶变换
例：通信系统中信号的调制
微分特性
已知n阶导数的傅里叶变换，求原信号的傅里叶变换
三角脉冲的傅里叶变换是门函数傅里叶变换的乘积
例：求t的傅里叶变换
积分特性
卷积定理
- 时域卷积定理
- 频域卷积定理
能量信号的帕斯瓦尔定理
- 能量信号的帕斯瓦尔公式表明信号的能量既可以在时域计算，也可以在频域计算
- 定义 为能量谱
2.2.4 周期信号的傅里叶变换
已经由傅里叶变换的频移性给出了这三个结论：
一般信号的的傅里叶变换可以理解为：先进行傅里叶级数展开，在对级数中的每一个 作傅里叶变换
