5.1 问题的提出
求解定积分的牛顿-莱布尼兹公式：
但是这种方法在实际工程应用中有如下的局限性：
- 被积函数f(x)的原函数F(x)不易找到。许多很简单的函数其原函数都不能用初等函数表示成有限形式。
- 被积函数f(x)没有具体的解析表达式。其函数关系由表格或图形表示,无法求出原函数。
- 尽管f(x)的原函数能表示成有限形式但其表达式相当复杂。
几种精度不高的积分方法
回忆积分中值定理：
左矩形公式
相当于取
右矩形公式
相当于取
中矩形公式
相当于取
梯形公式
相当于取
以上方法精度都不够高
5.2 插值型求积公式
在前述插值方法的基础上，问题转化为对多项式求定积分的问题，这是很容易解决的。
在插值多项式中，
，是拉格朗日插值多项式系数的积分，也是常数
由此，数值积分的结果就是离散点上函数值的线性组合
牛顿-柯斯特公式
：只与积分区间和n（节点数）有关
只与n有关
为了进一步简化表达式，我们采用等距取积分点的方式
由拉格朗日插值多项式 ，对 的定积分可以表示为：
下面来具体观察 的表达式，可以发现它只由节点决定，和 无关
牛顿-科特斯求积公式的余项为：
牛顿-科斯特求积公式为：
进一步讨论 :
其中，（b-a）是与区间有关的项，而 是仅仅与节点有关的项。
由此，牛顿-科斯特积分公式（在等距取节点的条件下）可以进一步写成：
科斯特系数与被积函数f（x）无关，与积分区域（a，b）也无关，只与选取的等距节点个数有关
因此，可以构建科斯特系数表
- n=1，梯形公式
- n=2，辛普森公式
- n=4，科斯特公式
牛顿-科特斯公式的误差估计
代数精度
- 理解：代数精度是指方法本身的精度，而不是针对某一次具体的估计
- 梯形公式的代数精度是1；辛普森公式为3
牛顿-科斯特求积公式的余项
5.3 复合求积公式
逻辑和之前的分段插值是一样的，因为高次插值会有荣格现象，以此为基础进行求积肯定不准确；
因此，还是采取在小区间上分段复合求积的策略。值得注意的是，与插值法采用最简单的线性插值不断缩小区间的方法不同，此处的最优方法似乎是复合求积辛普森公式，因为它可以在运算量相差不大的情况下使结果迅速收敛。
复合梯形求积公式
就是把区间等分成n段，对每一段用梯形求积公式，其中，表达式的系数可以通过下图来理解记忆。
复合梯形求积公式的余项
复合求积辛普森公式
复合求积辛普森公式的余项
与梯形公式比较，复合求积科斯特公式可以在计算量基本不变的情况下极大提高精度
复合求积科斯特公式
变步长梯形求积法
实际运算时，通常需要判断将区间几等分时满足题目所要求的精度
一般而言，我们采取不断二等分的方法，因为这样做之前计算的节点值还可以用到下一次计算中
实际上是T2n误差的三倍，但是这在工程上其实无所谓（）
5.4 龙贝格积分方法
事实上，在变步长梯形求积公式中，我们得到：
上面给出了一种方法，用这个关系进行误差估计，判断什么时候停止迭代
梯形法的加速
换一种思路，我们可以对此进行误差修正：
这样的经过误差修正的梯形求积公式就是辛普森公式（也称作加速公式）：
龙贝格算法
梯形法加速为辛普森算法；
辛普森算法用同样的方式加速为科斯特算法；
科斯特算法加速为龙贝格算法
计算方法如图所示：
注意，此时误差比较的方法是：T1与S1做差；S1与C1做差；R1与C1做差
注意，此时如果精度还是不够，不要继续加速，而是去计算R2，R3……
因为之前提到过，再加速系数中会出现负数，误差反而可能会增大
5.6 数值微分
- 插值多项式的误差
- 微分之后的误差
整体的思路就是：不好直接求，找多项式替身
