3.1.1 采样信号及其频谱
其中,Xs(t)表示采样信号;s(t)表示开关函数;x(t)表示原信号;
理想采样
理想开关函数:

理想开关函数是一系列周期的冲击函数序列
理想采样过程:

理想采样过程利用了冲击函数的筛选特性



理想采样信号的傅里叶变换

理想采样下,采样信号的傅里叶变换是原信号的傅里叶变换的周期延拓除以Ts
通过上面的表达式不难发现,频域上的延拓的间隔就是
采样时产生的频率混叠
当采样频率过低时,频域上周期延拓的原信号彼此发生重叠,因此无法还原原信号的性质。

临界频率:
无论是理想采样还是实际采样,当采样频率高于临界频率时,都不会发生混叠
当采样频率无穷大,亦即 ,可以认为采样信号能够完整复现原信号。
总结:
时域上乘积,频域上卷积;
对冲击函数在频域上卷积就是平移
实际采样

- 开关函数s(t):在实际采样中,开关函数是周期延拓的门函数(门的宽度 很小)
- 开关函数的傅里叶变换的包络线是Sa函数
- 把时域上的采样过程(原函数✖一系列周期延拓的门函数)转化到复频域上冲激函数和原信号频谱的卷积——平移延拓
- 复频域上,采样信号 的频谱 是原信号x(t)的频谱X(ω)频移加权叠加的结果,其加权系数为采样脉冲信号的傅里叶系数Sn
- 对于理想采样,所有频率的权都是1/Ts
- 对于非理想采样,这些权的包络线就是一个Sa函数
3.1.2 时域采样定理
如何采样不混叠

联系:PWM逆变器中,原信号的频率不能超过PWM开关频率的1/2;PWM逆变的过程可以理解成一个逆向采样
信号的恢复
频域分析

简单来说,用一个门信号分离频域上不混叠的信号的过程。
通过门函数后,如果得到的函数的傅里叶变换与原函数的傅里叶变换对应相等,那么它们在时域上的表达式也对应相等。

时域分析
很有趣的数学推导,可以加深对于频域、时域卷积等的理解
假设我们通过理想的开关函数得到了采样信号:

为了分离原信号,我们在频域上对原信号的频谱乘上了一个门信号,利用时域的卷积定理,对应为时域上采样信号 与门函数对应时域表达式 的卷积

不妨假设滤波器的截止频率 :


得到从频域中恢复的信号的时域上的表达式:

结论是:
- 在时域上利用一系列Sa函数(这个Sa函数称为取样函数)的叠加去拟合原信号;
- 每个Sa函数的权由 决定
在每个x=kTs上都只有一个非零值(对于其它Sa函数,这个位置是零点),其值为 ,这决定了叠加之后的包络线仍然是原来的信号;其他位置是无穷多个Sa函数的叠加

3.1.3 常见的离散信号
序列的表示方法
- 认为是有限序列
- 认为是无限序列,其它点全部都是零

- 的移位加权表示法
注意这里的 也是序列
序列的能量
能量W定义为序列各个抽样值的平方和,亦即:

序列的分类
- 有限序列
- 右边序列(有始无终序列)
- 因果序列:特殊的右边序列(从零开始)
- 左边序列(无始有终序列)
- 反因果序列:特殊的左边序列(从零开始)
常用序列
单位脉冲序列


- 取样(筛选特性)
- 加权特性
单位阶跃序列


- 和单位脉冲序列的关系
- u(n)的移位加权表示法
- n≥0,权是1;n<0,权是0

矩形序列

- 和单位阶跃序列的关系


实指数序列


正弦型序列


称作数字角频率或数字频率
对周期序列的等间隔采样不一定是周期序列,推导如下:

对周期序列等间隔采样如果是周期序列,那么数字角频率需要含有 的因子

复指数序列

离散信号的时域运算
平移


翻转


和、积、累加、差分





序列的抽取和插值


卷积和

- 步骤:换坐标、翻转、平移、相乘、累加

- 卷积和的几个属性:
- 序列卷积和的求解方法:
- 定义法(解析法)
- 序列移位加权法求解
- 利用分配律,转化成一系列冲激信号的卷积