3.1.1 采样信号及其频谱

其中,Xs(t)表示采样信号;s(t)表示开关函数;x(t)表示原信号;

理想采样

理想开关函数:

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理想开关函数是一系列周期的冲击函数序列

理想采样过程:

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理想采样过程利用了冲击函数的筛选特性
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理想采样信号的傅里叶变换

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理想采样下,采样信号的傅里叶变换是原信号的傅里叶变换的周期延拓除以Ts
通过上面的表达式不难发现,频域上的延拓的间隔就是

采样时产生的频率混叠

当采样频率过低时,频域上周期延拓的原信号彼此发生重叠,因此无法还原原信号的性质。
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临界频率:
无论是理想采样还是实际采样,当采样频率高于临界频率时,都不会发生混叠

采样频率无穷大,亦即 可以认为采样信号能够完整复现原信号。

总结:
时域上乘积,频域上卷积;
对冲击函数在频域上卷积就是平移

实际采样

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  • 开关函数s(t):在实际采样中,开关函数是周期延拓的门函数(门的宽度 很小)
  • 开关函数的傅里叶变换的包络线是Sa函数
  • 把时域上的采样过程(原函数✖一系列周期延拓的门函数)转化到复频域上冲激函数和原信号频谱的卷积——平移延拓
    • 复频域上,采样信号 的频谱 是原信号x(t)的频谱X(ω)频移加权叠加的结果,其加权系数为采样脉冲信号的傅里叶系数Sn
    • 对于理想采样,所有频率的权都是1/Ts
    • 对于非理想采样,这些权的包络线就是一个Sa函数

3.1.2 时域采样定理

如何采样不混叠

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联系:PWM逆变器中,原信号的频率不能超过PWM开关频率的1/2;PWM逆变的过程可以理解成一个逆向采样

信号的恢复

频域分析

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简单来说,用一个门信号分离频域上不混叠的信号的过程。
通过门函数后,如果得到的函数的傅里叶变换与原函数的傅里叶变换对应相等,那么它们在时域上的表达式也对应相等。
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时域分析

很有趣的数学推导,可以加深对于频域、时域卷积等的理解
假设我们通过理想的开关函数得到了采样信号:
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为了分离原信号,我们在频域上对原信号的频谱乘上了一个门信号,利用时域的卷积定理,对应为时域上采样信号 与门函数对应时域表达式 的卷积
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不妨假设滤波器的截止频率
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得到从频域中恢复的信号的时域上的表达式:
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结论是:
  • 在时域上利用一系列Sa函数(这个Sa函数称为取样函数)的叠加去拟合原信号;
  • 每个Sa函数的权由 决定
    • 在每个x=kTs上都只有一个非零值(对于其它Sa函数,这个位置是零点),其值为 ,这决定了叠加之后的包络线仍然是原来的信号;其他位置是无穷多个Sa函数的叠加
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3.1.3 常见的离散信号

序列的表示方法

  • 认为是有限序列
  • 认为是无限序列,其它点全部都是零
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  1. 的移位加权表示法
    1. 注意这里的 也是序列

序列的能量

能量W定义为序列各个抽样值的平方和,亦即:
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序列的分类

  • 有限序列
  • 右边序列(有始无终序列)
    • 因果序列:特殊的右边序列(从零开始)
  • 左边序列(无始有终序列)
    • 反因果序列:特殊的左边序列(从零开始)

常用序列

单位脉冲序列

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  • 取样(筛选特性)
  • 加权特性

单位阶跃序列

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  • 和单位脉冲序列的关系
  • u(n)的移位加权表示法
    • n≥0,权是1;n<0,权是0
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矩形序列

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  • 和单位阶跃序列的关系
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实指数序列

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正弦型序列

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称作数字角频率或数字频率
对周期序列的等间隔采样不一定是周期序列,推导如下:
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对周期序列等间隔采样如果是周期序列,那么数字角频率需要含有 的因子

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复指数序列

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离散信号的时域运算

平移

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翻转

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和、积、累加、差分

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序列的抽取和插值

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卷积和

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  • 步骤:换坐标、翻转、平移、相乘、累加
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  • 卷积和的几个属性:
  • 序列卷积和的求解方法:
    • 定义法(解析法)
    • 序列移位加权法求解
      • 利用分配律,转化成一系列冲激信号的卷积
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浙江大学电气工程学院本科生
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