拟合和插值的区别： 插值要求插值函数一定严格经过每一个数据点； 拟合假定测量值可能有误差，不严格要求拟合函数经过数据点
2.1插值引言
其中：
：成为 的插值函数
：称为被插值函数
：称为插值节点
：插值条件，也就是说在已知的点上插值函数和被插值函数一定要是相等的
误差函数 ：称为误差余项
插值函数的类型
本章只讨论多项式插值
自然的，插值研究的主要内容包括：
- n次插值多项式是否存在？
- 如何求解？
- 插值误差或余项应该如何估计？
理论上，用线性方程组的理论就可以求解
2.2拉格朗日插值多项式
推导
n=1线性插值
采用基函数 的目的是为了能够清楚地看到L1所过的两个插值基点
n=2抛物线插值
可以观察到类似于单位矩阵的特征
一般情形
定理2.1：插值多项式的存在唯一性
i.g.：如果不将多项式次数限制为n，则插值多项式不唯一
过两点的直线只有一条，过两点的抛物线有无数条
插值余项
用插值函数替代被插值函数之后，除了插值基点，其它位置一般是有误差的
定理2.2
当插值点临近节点时，插值多项式的误差可能很小；不临近任意节点时，误差相对而言可能很大
- 内推的插值效果一般好于外推
- 高次插值在一定范围内通常优于低次插值，但绝对不是次数越高越好
- 常用公式，线性插值与抛物线插值的截断误差
用matlab编程得到的解，可以看到用公式进行的估计是有效的
2.3 差商与牛顿插值公式
推导
- intro
- 接下来的目标：利用插值条件确定待定常数
- 经过美妙的数学推导（数学归纳或者说找规律），得到待定系数 的一般表达式
定义：差商
计算口诀：
从左往右顺着这个三角形递推
X和Y全抄下，分子前面下减上，分母x大减小
牛顿插值公式
牛顿插值余项
差分以及等距牛顿插值多项式
定义：差分
这里的差分实际上就是差商的分子
等距条件实际上就是对原始公式的分母进行了简化
等距牛顿插值多项式
或者采用另外一种表达方式：
实际应用中，并不一定要写出完整的表达式（n个数据点展开到n次）；将误差缩小到可以接受的范围就可以了
等距牛顿插值多项式的插值余项
实际上只是在原有的插值余项的基础上将 代入
注意 在整个区间上取值，求出最大值即可
2.4 分段低次插值
高次插值的病态分析
龙格现象
考察 ，用不同的节点数插值
分段线性插值
在一个比较长的区间内用高次插值可能会发生龙格现象
考虑：把长区间分成很多个小区间，在每个小区间上用低次插值
进一步地，只要区间分得足够小，每个区间上用线性插值也能够取得很好的效果
分段线性插值的插值余项估计式
在一个区间上：
在所有区间上，相当于对所有的max再取一个max
h：小区间长度的最大值
：整个区间上二阶导数的最大值
2.5 三次样条插值
分段低次插值优点：
- 计算简单
- 稳定性好
- 收敛性有保证
- 容易在计算机上实现
- ……
分段低次插值缺点：
- 曲线不光滑
👉样条插值，保留了分段低次插值多项式的各种优点，又提高了插值函数的光滑性
本课程只介绍应用最广的具有二阶连续导数的三次样条插值函数
2.5.1 三次样条插值函数的定义
应特别注意条件（2），这确保了曲线的连续性和光滑性（也就是导数的连续性）
2.5.2 边界条件的提出与类型
值得说明的是，在引入了光滑性的要求之后，仅靠函数表是不能解决三次样条插值问题的
边界条件的类型
- 重点理解一下第三个周期函数的类型
定理：三次样条插值函数存在唯一性定理
挺显然的，因为n个线性无关的方程，n个未知数，由线性代数的知识可以得到解一定是存在且唯一的
2.5.3 三次样条插值解法
两点确定一条直线；两个节点处的二阶导数值可以确定两个节点之间的直线
更换一个记号：
将三阶导数连续不定积分两次，得到一阶导数和原函数：
得到的 中，由两个未知数 ，但是根据插值条件，在这两个节点处提供了两个方程，正好可以解出
利用上面一阶导数连续性列写方程如下：
根据上面的三种插值条件，分别补充两个方程，得到一个含有n+1个未知数，n+1个方程的线性方程组，写成矩阵形式如下
- 容易发现，中间的部分是一样的，就是通过一阶导数的连续性导出的方程
- 上下的部分是不一样的，这是通过边界条件增加的两个方程
