22.1 波尔氢原子理论 | Z-cosy

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在量子力学建立之前，卢瑟福的模型被认为是正确的，但是没有办法解释原子的稳定性（根据麦克斯韦方程，做圆周运动的电子会向外辐射电磁波，原子的能量会不断损失）

氢原子光谱的实验规律

光谱学：研究物质结构和组成成分的技术学科

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巴尔末公式

注意，这里的

\tilde\nu

不是频率，是波数（波长的倒数），描述的是单位长度内有多少个波形

\tilde{\nu} = \frac{1}{\lambda} = R_H \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2}\right), \quad n=3,4,5,\dots

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里德伯公式（推广的巴尔末公式）

后来陆续发现了其它氢原子光谱线，里德伯总结了一个简单的关系, 称推广的巴耳末公式:

\tilde{\nu} = \frac{1}{\lambda} = R_H \left(\frac{1}{k^2} - \frac{1}{n^2}\right) \begin{cases} k = 1, 2, 3, \dots \\ n = k+1, k+2, \dots \end{cases}

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氢原子线系

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其它原子的光谱线

将推广的巴尔末公式应用到其它原子的表示为：

\tilde{\nu} = \frac{1}{\lambda} = T(k) - T(n)

其中，

T(k),T(n)

称为光谱项

这个公式的含义是：原子光谱中的任何一条谱线都可以用两光谱项的差来表示

氢原子的光谱项为：

T(k) = \frac{R_H}{k^2} \qquad T(n) = \frac{R_H}{n^2}

经典物理的困难

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波尔的氢原子理论

波尔理论的基本假设

1913年, 丹麦物理学家玻尔 (Niels Bohr,1885~1962) 在卢瑟福模型的基础上, 引入普朗克和爱因斯坦的量子概念, 提出一个氢原子模型.其主要思想如下:

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h\nu_{nk}=E_n-E_{k}

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L = mvr = n\frac{h}{2\pi} = n\hbar; \quad n=1,2,3,\dots

第三条，其实波尔当时并没有解释为什么满足这个条件电子的轨道运动就是稳定的，完成这个工作的是德布罗意

11年后,德布罗意对玻尔的轨道定态理论作出了更为满意的物理解释:

电子绕核运动时, 只有在德布罗意波伴随电子在轨道上形成驻波的情况下（驻波是稳定不变的，不会向外辐射电磁波）, 才具有稳定的状态.此时, 圆周长度是驻波波长的整数倍:

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电子轨道和定态能级

电子轨道半径的量子化

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轨道半径的量子化：

r_n = n^2 \frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m e^2}=n^2r_1

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原子能量的量子化

原子能量是电子动能和电子在原子核电场中的电势能之和：

原子能量：E_n = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r_n}\\ 圆周运动：\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r_n^2} = m\frac{v^2}{r_n} \quad \\ 轨道半径量子化：r_n = n^2\frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi me^2} = n^2\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{me^2}

解得：

E_n = -\frac{1}{n^2}\left(\frac{me^4}{8\varepsilon_0^2h^2}\right)

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电离能

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氢原子的任意一个态都有电离能

E_{n\text{电}} = \frac{1}{n^2}\left(\frac{me^4}{8\varepsilon_0^2h^2}\right) = \frac{13.6}{n^2}\text{ eV} \quad n=1,2,3,\dots

基态氢原子的电离能是13.6eV

这是氢原子所有电离能的最大值

氢原子轨道与能级示意图

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谱系的分类是以跃迁的终点为依据的

结合能级示意图和能量量子化的公式理解推广的巴尔末公式

氢原子光谱的解释

验证的关键：

里德伯常量的实验值和理论值相等

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波尔理论的意义和缺陷

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波尔理论是氢原子的一种半经典解决方法，氢原子问题严格解决需要用量子力学的方法

此处有一些习题，用来熟悉波尔的结论

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