21.4 薛定谔方程

含时的薛定谔方程

推导的目的是：消去能量和动量，得出一个微观粒子波函数所遵守的，关于x、t的方程

一维空间运动的自由粒子的波函数为：

下面通过运算得到几个重要关系：

对t求偏导得到：

对x求偏导得到：

对x求二阶偏导得到：

由自由粒子能量和动量的非相对论关系（这里的薛定谔方程描述的是低速运动的场景）：

将上述三个重要关系代入即可得到一维运动自由粒子波函数微分方程：

总能量的表达式为：

两边同时乘上波函数：

代入三个重要关系即可得到一维运动微观粒子的薛定谔方程：

在三维空间中，含时的薛定谔方程变为：

当势能与时间无关，而只是坐标的函数时，我们可以将波函数分离变量：

同理进行推导，最终得到的表达式和时间无关，此即为一维定态薛定谔方程：

💯

要求掌握的只有这个

将一维推广到三维可得定态薛定谔方程的标准形式：

进行适当变形：

定义能量算符（哈密顿算符）为：

得到能量本征方程：

注意，两边的波函数不能消去，因为哈密顿算符是一种运算，而非一个变量