记住公式，会算拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换
7.1 拉氏变换的定义
拉氏变换也是一种映射，把实函数映射为复函数；一般而言，象原函数在时域上，象函数在频域上。
一般而言，指时间，而是为了保证只有的时候函数才有意义
在不引起混淆时，一般规定：一般被省略
特殊的，
实际上，这可以看作频移性质：
拉氏变换的存在性定理（不要求掌握）
- 只是充分条件而不是必要条件
例 求拉氏变换
7.2 拉氏变换的基本性质
在后面的内容里，总是假设拉氏变换存在
线性性质
把三角转化为指数形式；利用线性性质，套用之前的公式就可以得到结果
例5 求
平移性质
时移性质（象原函数的平移）
注意：这里如果省略，则可能混淆截断点；
这里不是函数平移了，而是截断点和函数一起平移了
证明：
例：几个简单的例子
- 正向使用
- 反向使用
例 设以T为周期，求
重要结论：周期函数的拉氏变换
频移性质（象函数的平移）
注意， 如果为实数，原函数沿着实轴移动；如果 是负数，那么原函数在复平面内移动（一般不会考）
几个简单的例子：
微分性质
象原函数的微分性质
象函数的微分性质
例10
熟悉公式，会用即可
积分性质
象原函数积分性质
用微分性质证明；微分和积分互为逆运算。
象函数积分性质
例11
推论：
极限性质（仅作了解）
卷积性质
卷积定义
卷积满足结合律，交换律，对加法的分配律（和乘法的运算规律一样）
卷积定理
时域的卷积等于复频域的乘积
拉普拉斯变换中，只有时域卷积定理，而不像傅里叶变换那样有时域+频域卷积定理
例15 ，求
7.3 拉氏逆变换
本节介绍的几种求法
已知象函数去求象原函数，除了运用LT表（或者说记结论）（有时候还要用分解法去凑一下）及拉氏变换性质外，还可以用卷积定理、展开定理和留数的方法
留数的方法
定理7.3.1 反演公式（仅作了解）
- 右边的积分路径实际上是指沿着右侧的一条垂直于实轴的直线积分
定理7.3.2 利用留数计算
- 全部奇点都在某个左半平面
- s在左半平面趋向于无穷时，趋向于0；也就是说在某个左半平面收敛
例 用分解法-留数法-卷积法计算的拉氏逆变换
习题7.9（4）求拉氏逆变换：
不能用留数！因为，F(s)并不趋向于0；例如从负向趋向于无穷的时候；
本质上的原因可能是：复数域只有一个点
习题7.12 求下列方程的解
习题7.9（6）求
习题7.2
历年题
历年题
出现时移的时候，需要加上时间阶跃函数
习题8.2 求拉氏变换
习题8.5.9
历年题 ，求拉普拉斯变换
题目打错了、、但懒得改了，应该没有写错
历年题 求拉普拉斯逆变换
定理7.3.3 展开定理
例20 求
7.5 拉普拉斯变换的应用
求常系数线性常微分方程的初值问题
例 求方程的解
